روش هاي حل معادله درجه دوم :
الف) حل معادله درجه دوم با استفاده تجربه :
اگر بتوانيم معادله درجه دوم را به عامل هاي اول تجزيه كنيم آنگاه با استفاده از حل معادلات درجه اول ريشه هاي آن را بدست مي آوريم.
مي دانيم اگر A.B=0‌باشد آنگاه A=0 يا B=0 است .

ب‌) حل معادله درجه دوم به روش مربع كامل كردن :
بعضي از معادلات را به روش تجزيه نمي توان حل كرد مثل معادله x +x -1 =0 براي حل اينگونه معادله ها مي توان از روش مربع كامل كردن استفاده كرد.
در اين روش ابتدا معادله را به صورت a ≠0 , ax +bx +c =0 و مي نويسيم و طرفين معادله را به a تقسيم مي كنيم. سپس معادله را با استفاده از اتحادهاي

² ( a ± b ) به صورت زير درمي آوريم:

پ)روش كلي حل معادله درجه دوم :

a ≠ 0 , ax +bx +c =0

با استفاده از روش مربع كامل كردم مي توانيم دستوري كلي براي جواب هاي معادله درجه دوم پيدا كنيم. يعني :

حال اگرb ²- 4ac < 0 معادله جواب حقيقي ندارد و اگر b ²- 4ac = 0 باشد آنگاه0 = ² ( x + b/2a) در نتيجه x = -b/a و در اينجا مي گويند معادله داراي ريشه مضاعف است و اگر b ²- 4ac>0 باشد معادله داراي دو ريشه متمايز حقيقي است.

حل معادله درجه دوم با استفاده از رسم منحني
براي تعيين ريشه هاي درجه دوم ax ²+ bx +c =0 ابتدا معادله را به صورت زير مي نويسيم.

ax² = -bx -c => x ²= -b/a x - c/d

از تساوی بالا رابطه زیر را در نظ می گیریم :

نموار هندسي در رابطه بالا يك دستگاه محورهاي مختصات (به كمك نقطه يابي) رسم مي نمائيم. طول هاي نقاط برخورد اين دو نمودار (در صورت وجود) ريشه هاي معادله ax ²+bx +c = 0 مي باشند.

از روش فاكتورگيري استفاده كرده و ريشه معادله را بدست مي آوريم.

1)2x² -x = 0

2) t² -9 =0

2 – ريشه هاي معادله زير را تعيين كنيد.

1)4x +3x -1 =0

2) 6x² -5x +1 =0

3 – ريشه هاي معادله هاي زير را در صورت وجود با استفاده از رسم نمودار بدست آوريد.

x ²+3x +2 =0

x ²= -3x -2 => y₁ = x² , y₂ = -3x-2

جدول مقادير عددي معادله y₂ = -3x -2
طول هاي نقاط برخورد خط y₂ = -3x -2 و منحني y₁= x² عبارتند از x=-2 , x=-1 ريشه هاي معادله x ²+3x +2 =0 مي باشند.

4 – به هر يك از عبارت هاي زير عددي اضافه كنيد تا آن عبارت مربع كامل گردد.
جملات اين عبارت دو جمله از سه جمله اتحاد² (a +b) مي باشد، براي بدست آوردن جمله كمبود آن از رابطه زير استفاده مي كنيم يا مربع نصف ضريب x (جمله درجه اول)

1) x ²+4x

جمله مطلوب =>

2) x ²- 2bx

5 – معادلات زير را حل كنيد.
هر معادله كه به صورت كلي ax +bx +c = 0 باشد معادله ي درجه دوم يك مجهولي ناميده مي شود. شرط اينكه اين معادله ريشه حقيقي داشته باشد. اين است كه b² -4ac>0= ∆ باشد در اين صورت ريشه هاي معادله از دو فرمول زير بدست مي آيند.

در این معادله a=1 , b=-7 , c=10 می باشد .

الف) x² -7x +10 =0

ب) x = 6x +2

6 – در هر يك از مثلث هاي قائم الزاويه زير مقدار x را با استفاده از قضيه فيثاغورث بدست آوريد.
رابطه فيثاغورث را براي اضلاع مثلث شكل الف مي نويسيم.
الف)

(13)² = (x+7)² +x ²=> 169 = x ²+14x + 49 +x² => 2x² +14x -120 = 0 => x ²+7x -60 = 0 =>

(x+12)(x-5) = 0 => x=-12 غ ق ق , x = 5

(x+3)² = (x+1)²+(x-1)² => x ²+6x +9 = x ²+2x+1+x²+1-2x => x² -6x -7 = 0 => (x-7)(x+1) = 0 => x=7 غ ق ق , x = -1

7 – براي چه مقدار از a معادله a ²x ²-ax +a +1 = 0 داراي ريشه مضاعف است؟

ax² +bx +c = 0 => ∆ = b² - 4ac

شرط اینکه معادله ریشه مضاعف داشته باشد : 0= ∆

a²x² - ax +a +1 = 0 => a = a² , b=-a , c= a+1

∆ = (-a)² -4(a²)(a+1) = 0

∆ = a ²-4a ³- 4a² => -4a -3a = 0 => a²(4a +3) = 0 =>

a² = 0 => a = 0 غ ق ق

4a +3 =0 => 4a = -3 => a = -3/4

8- طول ضلع مربعي را پيدا كنيد كه عدد مربوط به محيط آن مساوي عدد مربوط به مساحت آن باشد.
x طول ضلع مربع

4x محيط مربع
x² مساحت مربع

4x = x => x-4x = 0 => x(x-4) = 0 => x = 0 غ ق ق , x = 4 طول ضلع مربع

9 – عدد طبيعي پيدا كنيد كه وقتي آن را با مربعی جمع كنيم حاصل 12 مي شود.
X عدد طبيعي

x+x=12 => x +x -12 = 0 => (x+4)(x-3) = 0 => x = -4 غ ق ق , x = 3